Sinds 1900 proberen wiskundigen de beweging van een vloeistof en de individuele deeltjes daarbinnen in één enkel wiskundig kader te beschrijven. Nu zijn ze daar eindelijk in geslaagd. Dat kan ons helpen het complexe gedrag van de atmosfeer en de oceanen beter te begrijpen.
Wiskundigen hebben de natuurkundige wetten verenigd die de bewegingen van deeltjes op verschillende schalen bepalen. Daarmee lossen ze een probleem op dat wiskundige David Hilbert in 1900 opwierp als onderdeel van een ambitieuze opdracht voor alle wiskundigen van de 20e eeuw. De oplossing kan inzicht geven in het complexe gedrag van vloeistoffen in de atmosfeer en de oceanen.
‘Dit is in mijn ogen een belangrijk resultaat. Ik dacht dat het volledig buiten bereik lag’, zegt natuurkundige Benjamin Texier van de Universiteit van Lyon in Frankrijk.
Natuurkundige wint prijs met boek over wis- en natuurkunde: ‘Het is als woordjes leren, dat moet je een paar keer oefenen’
Wis- en natuurkunde worden vaak gezien als ‘moeilijke’ vakken. Toch bekroonde een scholierenjury vorig jaar een boek over ...
Newton en Boltzmann
Wiskundige Zaher Hani van de Universiteit van Michigan en zijn collega’s hebben laten zien hoe je op een consistente en zinvolle manier natuurkundige wetten op drie verschillende schalen aan elkaar kunt koppelen. Ze beschrijven hun werk in een wetenschappelijk artikel op het openbare platform arXiv.
De eerste schaal is het microscopische domein van afzonderlijke deeltjes. Die botsen op elkaar volgens de bewegingswetten van Isaac Newton. Daarnaast is er het mesoscopische domein van verzamelingen van dergelijke deeltjes. Die volgen de statistische wetten van Ludwig Boltzmann. Ten derde is er de nog grotere macroscopische schaal waarin wij ons bevinden. Op die schaal wenden natuurkundigen zich tot complexe wiskundige hulpmiddelen zoals de Navier-Stokesvergelijkingen, die het gedrag van vloeistoffen beschrijven.
In de loop der jaren hebben natuurkundigen en wiskundigen weliswaar enkele verbanden gelegd tussen de drie kaders, maar tot nu toe waren ze nooit volledig verenigd. De zoektocht naar zo’n vereniging begon in de 19e eeuw. Nadat Boltzmann zijn statistische technieken had gepresenteerd, schreeuwden zijn tijdgenoten om een wiskundig bewijs dat deze technieken ook echt werkten. Dit mondde uiteindelijk uit in het zesde probleem op de agenda van Hilbert. Dat roept op tot het afleiden van wetten die het gedrag van vloeistoffen beschrijven op basis van elementaire wiskundige axioma’s (algemeen geaccepteerde wiskundige beweringen).
Feynman-diagrammen
Een van de redenen dat wiskundigen dit zo graag wilden, is omdat sommige van deze wetten omkeerbaar zijn in de tijd en andere niet, zegt teamlid Yu Deng van de Universiteit van Chicago. De wetten van Newton zijn bijvoorbeeld niet gevoelig voor de richting van de tijd, zodat ‘voor’ en ‘na’ uitwisselbaar zijn. De statistische vergelijkingen van Boltzmann bieden daarentegen wel een manier om die twee te onderscheiden. Volgens Deng verheldert het werk van zijn team wanneer en hoe deze omschakeling plaatsvindt, zodat er geen kans meer is op een tijdgerelateerde wiskundige paradox.
De onderzoekers schreven de berekeningen op in termen van diagrammen die zijn bedacht door natuurkundige Richard Feynman. Wiskundigen gebruiken deze diagrammen om complexe vergelijkingen op te lossen rond deeltjes die herhaaldelijk met elkaar reageren, zoals in een vloeistof. Dit proces wordt echter al gauw overweldigend, zegt Hani. Zijn team bedacht daarom een manier om het aantal diagrammen dat ze exact moesten berekenen te verminderen. Daardoor konden ze een duidelijk wiskundig pad bouwen dat leidde van de wetten van Newton naar de Navier-Stokes-vergelijkingen.
Oceanografie
Hoewel er een lange geschiedenis is van gedeeltelijke oplossingen voor het zesde probleem van Hilbert, is het nieuwe werk volgens Texier een ‘echte sprong voorwaarts’, die de intuïtie achter het oorspronkelijke werk van Boltzmann bekrachtigt. Met andere woorden: het nieuwe bewijs bevestigt de manier waarop natuurkundigen al meer dan een eeuw denken over vloeistoffen en gassen, door die een stevige wiskundige basis te geven.
Hani’s team heeft niet het gevoel dat het werk de zoektocht van Hilbert afsluit. ‘Het belang van Hilberts zesde probleem ligt niet alleen in het axiomatiseren van de natuurkundige wetten, maar ook in het begrijpen van de implicaties van deze wiskundige modellen. We weten dat ze op een gegeven moment kapotgaan. Ik denk dat de moderne motivatie voor het zesde probleem van Hilbert zou moeten liggen in het begrijpen van wat er gebeurt als die modellen breken’, zegt hij.
Deng zegt vooral geïnteresseerd te zijn in wat er gebeurt op de kleinste, meest microscopische schaal, wanneer de macroscopische vloeistofvergelijkingen singulariteiten ontwikkelen: plekken waar de oplossingen van de vergelijkingen hun betekenis verliezen. Dit kan gebeuren in een breed scala aan situaties in de oceanografie en de atmosfeerwetenschap. Dankzij de stevige verbinding tussen de twee schalen kunnen onderzoekers daar nu misschien een exact beeld van krijgen.
Voor Texier zijn alle implicaties van het nieuwe werk nog niet duidelijk, simpelweg omdat het zo’n rijk en complex stuk wiskunde is. ‘Ik denk dat het de gemeenschap veel moeite zal kosten om het allemaal te verwerken’, zegt hij.
