Een ingewikkeld wiskundig raadsel dat wiskundigen al 82 jaar bezighoudt, is bijna opgelost.
Het probleem, het vermoeden van Collatz, is makkelijk uit te leggen. Begin met een willekeurig positief, heel getal. Als het getal even is, deel je het door twee. Als het een oneven getal is, vermenigvuldig je het met drie en tel je er één bij op. Neem de uitkomst en herhaal deze stappen, keer op keer op keer. Het vermoeden stelt dat deze reeks altijd op 1 eindigt, ongeacht het getal waarmee je begint.
Je kunt het vermoeden van Collatz visualiseren door reeksen getallen voor te stellen die uiteindelijk allemaal eindigen in hetzelfde punt. Het resultaat ziet eruit als golvend zeewier of een groep krioelende wormen.
‘Einstein liep als theoreticus vast op de nieuwe bevindingen’
Toen de Nederlandse natuurkundige Heike Kamerlingh Onnes iets geks ontdekte over supergeleiding, was dit onder veel fysici het gesprek van de dag. Maa ...
Honderd triljoen getallen
Zo fascinerend als dat plaatje is, zo moeilijk is het om het vermoeden wiskundige te bewijzen. Voor de eerste 1020 (100 triljoen) getallen is aangetoond dat het vermoeden van Collatz klopt.
Maar om te bewijzen dat het vermoeden voor élk getal op gaat, is het niet genoeg om het vermoeden steeds weer voor een nieuw getal te bewijzen. Het aantal getallen is immers oneindig. En dus is er een logische, wiskundige verklaring nodig.
Bijna gelukt
Het is Terence Tao, wiskundige van de Universiteit van Californië te Los Angeles, nu bíjna gelukt om het vermoeden van Collatz te bewijzen. Hij borduurt daarbij voort op het werk van andere onderzoekers, die eerder aantoonden dat bijna alle reeksen een waarde bereiken tussen het getal waarmee je begint, n, en 1. Dit betekent dat zo’n reeks niet kan opblazen tot een oneindig groot getal.
‘Veel wiskundige problemen zijn gemakkelijker op te lossen als je accepteert dat de boel in een klein aantal gevallen spaak loopt – als je bereid bent te accepteren dat je bewijs bijna alle gevallen verklaart’, zegt Tao. ‘Ik heb laten zien dat de bereikte waarde tussen n en 1 zo dicht bij het einddoel 1 kan liggen als je wil, voor bijna alle n.’
Jeffrey Lagarias van de Universiteit van Michigan noemt Tao’s werk ‘de meest belangrijke vooruitgang van dit probleem sinds jaren’.
Weinig hoop
Zelf denk Tao dat er weinig hoop is om met zijn methode een compleet bewijs te vinden. In zijn artikel zegt hij dat een oplossing ‘met de huidige methode ver buiten bereik is’.
Dit komt doordat Tao gebruiktmaakt van technieken afkomstig uit de kansrekening. Hierdoor is er altijd een kleine foutmarge. ‘Er kunnen misschien kleine technische verbeteringen worden aangebracht, waarvan de meeste te maken hebben met de precieze definitie van ‘bijna alle gevallen’,’ zegt Tao. ‘Maar ik ben blij dat ik deze verbetering kan overlaten aan andere wiskundigen.’
