Wiskundigen hebben ooit een hele ladder van oneindigheden gecreëerd, waarbij het ene type nog groter is dan het ander. Nu is er een nieuw type oneindigheid bedacht dat de orde dreigt te verstoren.
Wiskundigen hebben een nieuwe vorm van oneindigheid bedacht die in strijd lijkt met de huidige regels over oneindig grote verzamelingen. Mogelijk moeten ze daarom de structuur van de wiskunde herzien.
Hoe vreemd het ook klinkt, er bestaan meerdere soorten oneindigheden. In 1878 toonde wiskundige Georg Cantor aan dat de oneindige verzameling van de reële getallen – alle getallen, inclusief negatieve getallen en getallen met decimalen – groter is dan de oneindige verzameling van de gehele getallen.
‘Einstein liep als theoreticus vast op de nieuwe bevindingen’
Toen de Nederlandse natuurkundige Heike Kamerlingh Onnes iets geks ontdekte over supergeleiding, was dit onder veel fysici het gesprek van de dag. Maa ...
In navolging van Cantors ideeën gingen wiskundigen toen steeds grotere oneindige verzamelingen opstellen. Daardoor ontstond een hiërarchische ladder van oneindige verzamelingen, die zelf ook oneindig is.
Een huis in een huis
Nu hebben wiskundige Juan Aguilera van de Technische Universiteit Wenen en zijn collega’s twee nieuwe vormen van oneindigheid bedacht, de zogeheten veeleisende kardinalen en ultra-veeleisende kardinalen. Die houden zich niet aan de huidige regels. ‘Ze passen niet helemaal in de lineaire hiërarchie’, zegt Aguilera. ‘Ze interageren heel, heel vreemd met andere soorten oneindigheid.’
Aguilera en zijn team definieerden de veeleisende kardinalen aan de hand van twee regels. Ten eerste bevatten verzamelingen met deze mate van oneindigheid wiskundig exacte kopieën van hun gehele structuur – een beetje zoals een huis met daarin meerdere modellen van het huis op ware grootte. Ten tweede bevatten zulke verzamelingen kleine versies van grotere verzamelingen – alsof er in het huis ook maquettes van de omgeving zijn.
De ultra-veeleisende kardinalen voldoen bovendien aan een derde regel. Verzamelingen met deze mate van oneindigheid bevatten ook de wiskundige regels over hoe ze zelf zijn gemaakt – alsof het huis behangen is met blauwdrukken van zichzelf.
Keuze-axioma
Rond het begin van de 20e eeuw gingen wiskundigen op zoek naar een stevig fundament voor hun hele vakgebied. Daarbij definieerden ze een basisset regels, of axioma’s, waarmee je elke andere theorie kunt opstellen en bewijzen. Dat mondde uit in de zogeheten Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer.
Een van die fundamentele regels is het zogeheten keuze-axioma. Volgens dit axioma kun je altijd een nieuwe verzameling getallen maken door getallen uit andere verzamelingen te combineren. Het axioma vertelt je alleen niet expliciet hoe je dat moet doen.
Tegenwoordig is het keuze-axioma een belangrijke maatstaf bij het opstellen van de oneindige ladder. Die wordt door het axioma in drie gebieden onderverdeeld.
Gebied vol chaos
Het eerste en kleinste gebied bevindt zich onderaan de ladder. Dit gebied bevat oneindigheden die voldoen aan de axioma’s van de verzamelingenleer. Dat zijn de oneindigheden van reële en gehele getallen die Cantor bestudeerde.
Bovenaan de ladder bevindt zich het derde en grootste gebied. Dat bevat oneindigheden die zo groot zijn dat alle axioma’s van de verzamelingenleer, inclusief het keuze-axioma, niet meer opgaan. Het is een gebied vol chaos, zegt Aguilera.
Veel oneindigheden hebben ergens daartussenin een plekje, in het tweede gebied. Veeleisende en ultra-veeleisende kardinalen leken daar aanvankelijk ook in te passen. Maar toen de wiskundigen hun precieze plek op de ladder probeerden vast te pinnen, bleek dat onmogelijk. ‘Het is niet helemaal duidelijk of ze aan de bovenkant van het middelste gebied horen, waar de axioma’s nog steeds verenigbaar zijn met alle axioma’s uit de verzamelingenleer, of dat ze een vierde gebied vormen dat een beetje aan de zijkant van het chaotische gebied ligt’, zegt Aguilera.
Wel of geen structuur?
De plek van deze nieuwe oneindigheden kan gevolgen hebben voor de structuur van het hele wiskundige universum. Dat heeft te maken met het zogeheten HOD-vermoeden, een belangrijk onopgelost probleem. Dit vermoeden stelt dat naarmate je bij de allergrootste oneindigheden komt, het keuze-axioma steeds minder tegenstrijdigheden oplevert. Als dat klopt, wordt wiskunde op de grootste schalen steeds meer geordend, zegt wiskundige Gabriel Goldberg van de Universiteit van Californië, Berkeley, die niet betrokken was bij het werk.
Als wiskundigen echter het bestaan van de veeleisende en ultra-veeleisende kardinalen accepteren, ‘wijst dat er sterk op dat het HOD-vermoeden onjuist is, en chaos dus overheerst’, zegt teamlid Philipp Lücke van de Universiteit van Hamburg. Al vindt Goldberg dat een voorbarige conclusie. ‘Het lijkt erop dat er juist veel structuur uit voortkomt’, zegt hij.
