Theorieën van wiskundige Alan Turing over computerberekeningen lijken een verrassend gevolg te hebben: ze stellen harde grenzen aan hoe snel of langzaam zaken in de kosmos kunnen groeien.
Een nieuw voorgestelde kosmische snelheidslimiet beperkt het tempo waarmee alles in het universum kan groeien. Het bestaan ervan volgt uit de baanbrekende theorieën van wiskundige Alan Turing (1912-1954) op het gebied van informatica.
Toen natuurkundige Albert Einstein in 1905 het verband tussen ruimte en tijd bestudeerde, toonde hij aan dat niets in het universum de lichtsnelheid kan overschrijden. Nu stelt filosoof Toby Ord van de Universiteit van Oxford een nieuwe natuurkundige limiet voor, gebaseerd op rekenkracht. ‘Die limiet zou van toepassing moeten zijn op elke meetbare grootheid, zoals massa, lading en energie, maar ook subtielere dingen, zoals de tijdsintervallen tussen opeenvolgende gebeurtenissen’, zegt Ord. Hij beschrijft zijn idee in een wetenschappelijk artikel dat nog niet door andere experts is getoetst.
Dit is hoe we wiskundefobie te lijf kunnen gaan
Sarah Hart vertelt hoe we de angst voor getallen en formules weg kunnen nemen.
Stopprobleem
Hoewel apparaten zoals smartphones en laptops in de loop der tijd steeds krachtiger worden, zitten er theoretische grenzen aan hun rekenvermogen. Daardoor zijn sommige problemen ‘onbeslisbaar’: geen enkel algoritme kan ze beantwoorden, hoe krachtig een computer ook is.
Een belangrijk voorbeeld hiervan is het stopprobleem. Dat draait om de vraag of een bepaald computerprogramma ooit zal stoppen of voor altijd zal doordraaien. In de jaren 1930 toonden computerpionier Alan Turing en andere onderzoekers aan dat dit probleem onbeslisbaar is. Ze gebruikten daarvoor een rekenmodel dat sindsdien bekend is komen te staan als de turingmachine. De meeste hedendaagse informatici denken dat als een probleem onbeslisbaar is voor een turingmachine, het ook onoplosbaar is voor een echte computer.
Bezigebeverfunctie
Volgens Ord impliceert het stopprobleem dat er een natuurkundige limiet zit aan de groei van alles in het universum. Hij wendde zich tot een ander merkwaardig stukje wiskunde, de ‘bezigebeverfunctie’. Deze formule vertelt je hoe lang een turingmachine maximaal kan draaien, zonder eeuwig door te gaan. Deze tijdsduur hangt af van het aantal toestanden dat de machine heeft, oftewel zijn grootte.
Als je steeds grotere apparaten beschouwt, groeit de bezigebeverfunctie buitengewoon snel: de eerste twee waarden zijn 1 en 6, de vijfde waarde is al 47.176.870. Van de volgende waarde is onlangs bewezen dat die groter is dan een getal dat wordt geschreven als 10⇈15. Dit gigagetal krijg je door het getal 10 vijftien keer achter elkaar tot de macht 10 te verheffen.
In theorie kun je met elk natuurkundig proces dat sneller groeit dan de bezigebeverfunctie het stopprobleem oplossen. Maar dat probleem is volgens onderzoekers dus onoplosbaar. Daarom is volgens Ord de bezigebeverfunctie de ultieme kosmische limiet van hoe snel een fysisch proces of systeem kan groeien. ‘Als de turingmachine echt de grens bepaalt van wat berekenbaar is in ons universum, kunnen er geen direct meetbare grootheden zijn die zo snel groeien’, zegt hij.
Slaperigeluiaardfunctie
Ords limiet zou niet alleen van toepassing zijn op zeer snel groeiende processen, maar ook op zeer langzame. Dat toont Ord aan met wat hij de slaperigeluiaardfunctie noemt. Dit is een zeer traag groeiende functie, tegenovergesteld aan de bezige bever: de slaperige luiaard begint bij 1 en komt pas na 47.176.870 waarden bij 5. ‘Het ligt enigszins voor de hand dat er een bovengrens zit aan hoe snel dingen kunnen groeien, maar het is verrassend dat er ook een grens zit aan hoe langzaam ze kunnen groeien’, zegt Ord.
Het is onwaarschijnlijk dat iets in het universum daadwerkelijk tegen een van deze limieten aan schurkt. Ord vergelijkt de situatie met de lichtsnelheid: het feit dat er überhaupt een limiet bestaat, weerspiegelt mogelijk iets fundamenteels over het universum.
Volgens Ord moeten we misschien zelfs terugkomen op het idee dat er grenzen zijn aan berekenbaarheid. Ideeën over turingmachines worden al tientallen jaren als vaststaand beschouwd, maar zijn nog steeds voornamelijk sterke hypothesen en geen onherroepelijk bewezen feiten. Als de gevolgen ervan zo dramatisch zijn dat ze nieuwe grenzen aan de fysieke werkelijkheid introduceren, dan verhoogt dit de inzet om deze ideeën opnieuw te onderzoeken en rigoureuzer te bewijzen. ‘Ze zijn misschien minder onschuldig dan we dachten’, zegt Ord.
Doorbreken
Informaticus Scott Aaronson van de Universiteit van Texas in Austin zegt dat zijn vakgenoten al van oudsher geïnteresseerd zijn in de theoretische implicaties van de bezigebeverfunctie, maar dat het werk van Ord laat zien hoe deze functie verband kan houden met de echte wereld.
Wiskundige Edwin Beggs van de Swansea Universiteit in het Verenigd Koninkrijk zegt dat er één moeilijkheid kleeft aan Ords idee: hoe zou je een fysisch proces in kaart brengen dat sneller groeit dan de bezigebeverfunctie, en dus onberekenbaar is? Volgens hem zou er wel degelijk iets kunnen bestaan dat de voorgestelde kosmische limiet overschrijdt, maar zouden we moeite hebben om dat als zodanig te herkennen. ‘Ik denk dat er nog steeds enige kans is dat we deze snelheidslimiet doorbreken. We moeten dan een natuurkundig fenomeen kennen waarvan we weten dat het die impuls kan geven’, zegt Beggs.
