In de film Daredevil kan de blinde superheld het gezicht van zijn geliefde Elektra ‘zien’ door te luisteren naar het geluid van regendruppels die op haar gezicht vallen. Zo goed kunnen horen, is fictie. Maar het is wel degelijk mogelijk om via geluidsgolven de vorm van een object te ‘horen’. Hoe dit kan met een beperkt aantal geluidsgolven, tonen twee wiskundigen in een nieuwe publicatie.
In hun artikel laten Walter van Suijlekom van de Radboud Universiteit in Nijmegen en de Franse Alain Connes, die in 1982 de prestigieuze Fieldsmedaille won, een wiskundige theorie zien die het mogelijk maakt om met een natuurkundig realistisch experiment de vorm van een object te ‘horen’.
Trillende trommel
In 1966 schreef wiskundige Marc Kac een artikel waarin hij zich afvroeg: ‘Kun je de vorm van een trommel horen?’ Kac had het daarbij over een trommelvel dat vastzit aan een rand met een bepaalde vorm. Dat kan een cirkel zijn, maar ook een vierkant of een complexe, hoekige vorm.
Dit is hoe we wiskundefobie te lijf kunnen gaan
Sarah Hart vertelt hoe we de angst voor getallen en formules weg kunnen nemen.
Door het trommelvel in trilling te brengen, ontstaat er geluid met verschillende frequenties. Dit zijn de tonen en boventonen van de trommel. Vellen met verschillende vormen veroorzaken verschillende trillingsfrequenties en kunnen dus anders klinken.
Welke trillingen er ontstaan in een vel met een bepaalde vorm, valt uit te rekenen met de zogeheten helmholtzvergelijking. Maar Kac wilde weten of het omgekeerde ook mogelijk is: de vorm afleiden uit de frequenties. Daarover schreef hij: ‘Persoonlijk denk ik dat je de vorm van een trommel niet kunt ‘horen’, maar ik heb het misschien mis en ik ben niet bereid om hier grote bedragen op in te zetten.’
‘Sinds de jaren negentig weten we dat je de vorm goed kunt benaderen door lokaal te luisteren’, vertelt Van Suijlekom. Je laat daarbij steeds een stukje van het trommelvel trillen en luistert naar de frequenties. Door alle mogelijke frequenties te combineren, kun je de vorm van het totale vel bepalen.
Als een mp3’tje
Wiskundig is dit laatste weliswaar mogelijk, maar in de praktijk kun je de oneindige hoeveelheid frequenties die ontstaat niet verwerken om de exacte vorm te bepalen. ‘Als je metingen doet, kun je nooit alle frequenties vastleggen’, vertelt Van Suijlekom. ‘Er is altijd een grens aan wat je kunt meten en je meetapparatuur heeft een beperkte resolutie.’
Als voorbeeld noemt hij sterrenkundige metingen van elektromagnetische golven of zwaartekrachtsgolven uit het verre heelal. Die signalen bevatten een beperkt aantal frequenties waar je vervolgens zoveel mogelijk informatie uit af wilt leiden over een ster of over botsende zwarte gaten.
‘Wij onderzoeken wiskundig of je kunt achterhalen hoe iets eruit ziet als je een beperkt aantal frequenties tot je beschikking hebt’, zegt Van Suijlekom. Dat blijkt verrassend goed mogelijk met een theorie die de twee wiskundigen ontwikkelden. ‘Als je naar een cirkelvormige trillende snaartje kijkt, kun je met negen verschillende trillingsmodi al behoorlijk goed de juiste vorm benaderen.’
Je kunt het vergelijken met een mp3’tje, legt hij uit. Als je live naar muziek luistert, hoor je oneindig veel geluidsfrequenties. Om er een mp3-bestand van te maken, worden die frequenties dit omgezet naar een digitaal signaal met een beperkt aantal frequenties. Toch herken je het muziekstuk dat gespeeld werd als het mp3’tje genoeg frequenties meeneemt.
De vorm van het universum
Deze wiskundige bevinding laat ook zien dat het in principe mogelijk is om de vorm van het universum te benaderen aan de hand van een eindig aantal frequentiemetingen, van bijvoorbeeld telescoopwaarnemingen en zwaartekrachtgolven. Daardoor wordt het mogelijk om de vorm van het universum te benaderen met computersimulaties. Momenteel wordt onderzocht hoe dicht de vorm hiermee is te benaderen.