Ze wilden achterhalen hoe spookachtige deeltjes genaamd neutrino’s van gedaante veranderen. Maar tot hun eigen verrassing deden drie fysici vervolgens een wiskundige ontdekking. Samen met Terence Tao, winnaar van de Fieldsmedaille (de ‘Nobelprijs voor wiskunde’), werken ze nu aan een publicatie van hun resultaten.
Voor natuurkundigen is wiskunde meestal een middel; een taal waarin ze het universum en alles waar daarin gebeurt proberen te beschrijven. De wiskunde die ze hiervoor gebruiken, is meestal ontwikkeld en bewezen door wiskundigen.
Dit is hoe we wiskundefobie te lijf kunnen gaan
Sarah Hart vertelt hoe we de angst voor getallen en formules weg kunnen nemen.
Maar drie theoretische fysici – Peter Denton van Brookhaven National Laboratory, Stephen Parke van Fermi National Accelerator Laboratory en Xining Zhang van de Universiteit van Chicago – draaien de rollen om. Terwijl ze werkten aan een lastig natuurkundig probleem, ontdekten ze een verrassend verband tussen twee veelgebruikte objecten uit de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde.
Veranderende neutrino’s
Afgelopen zomer onderzochten de theoretici het gekke gedrag van neutrino’s. Dit zijn piepkleine deeltjes die ongemerkt bijna overal doorheen vliegen. Elke seconden gaan er 100 miljard door een oppervlak ter grootte van je duim, zonder dat je daar iets van merkt. Door dit spookachtige gedrag zijn ze lastig te onderzoeken en is er nog veel onbekend over neutrino’s.
Wel is bekend dat neutrino’s bestaan in drie ‘smaken’: elektron, muon en tau. Elk neutrino is een soort quantummix van die drie smaken. En terwijl zo’n deeltje door het universum raast, verandert het van smaak. Zo kan een muonneutrino na 1000 kilometer reizen bijvoorbeeld bijna helemaal veranderd zijn in een tauneutrino.
Eigenvectoren en eigenwaarden
Hoe en wanneer neutrino’s van smaak veranderen, is te beschrijven met lineaire algebra. Daarvoor gebruiken fysici een zogeheten matrix: een blok met een aantal rijen getallen. De gruwelijk ingewikkelde matrix die voorspelt hoe neutrino’s van smaak veranderen, bestaat uit drie bij drie (dus in totaal negen) getallen.
De eigenschappen van een matrix kun je beschrijven met eigenvectoren (rijtjes met getallen) en eigenwaarden (losse getallen). Wis- en natuurkundigen leren tijdens hun studie hoe ze met pijn en moeite de eigenvectoren en eigenwaarden van een matrix kunnen berekenen.
De fysici die aan het rekenen waren met de matrix voor neutrino’s ontdekten een direct verband tussen het kwadraat van een component van eigenvectoren en de eigenwaarden van een matrix. Dankzij dat verband kunnen de eigenvectoren op een eenvoudigere manier opgeschreven worden. Dit bleek niet alleen te gelden voor de neutrinomatrix, maar ook voor bepaalde andere matrices.
Binnen twee uur reactie
Denton, Parke en Zhang leek het bijzonder sterk dat ze een ontdekking hadden gedaan in de lineaire algebra. ‘Ik kon het eerst niet geloven, omdat lineaire algebra al eeuwen wordt bestudeerd’, zegt Zhang. Maar nergens in de wetenschappelijk literatuur konden ze hun bewijs terugvinden.
Daarom mailden ze de wiskundige Terence Tao. Binnen twee uur reageerde Tao dat hij dit nog niet eerder gezien had, schrijft het online magazine Quanta. Zijn antwoord bevatte ook twee verschillende bewijzen voor hun ontdekking.
Kort bewijs
Het artikel over de ontdekking, dat de fysici samen met Tao schreven, is kort: drie pagina’s. ‘Als je eenmaal het verband kent, is het niet zo moeilijk om het te bewijzen. We geven twee bewijzen, elk ongeveer een halve pagina lang’, schrijft Tao op zijn blog. Online beschrijft hij nog een derde bewijs.
Na de voorpublicatie van hun ontdekking, de blogpost erover van Tao en het artikel in Quanta druppelden er verwijzingen binnen naar artikelen waar de ontdekking al eerder beschreven werd. Een aantal daarvan lijken inderdaad dezelfde kant op te wijzen. Maar bijna nergens wordt het belangrijke verband tussen de eigenwaarden en eigenvectoren expliciet beschreven, zegt Tao.
Vaker bewezen
Enkel in een artikel dat op de prepublicatiewebsite ArXiv verscheen in 2014 lijkt precies hetzelfde verband te zijn beschreven. Tao bevestigt dit in een reactie op zijn blog. De auteur is Piet Van Mieghem, hoogleraar aan de TU Delft.
‘Ik vond exact hetzelfde’, mailt Van Mieghem. ‘Ook ik gaf drie verschillende bewijzen. En tijdens de ontdekking – ergens in de periode 2011-2012 – had ik precies hetzelfde gevoel als de neutrinofysici: wat een mooie, elegante uitdrukking. Net zoals zij was ik heel enthousiast, want we spreken werkelijk over een basisformule, die tijdens een eerstejaars universitaire cursus gedoceerd zou kunnen worden.’
Van Mieghem kwam tot de formule via zijn werk in network science, waar gekeken wordt naar bijvoorbeeld sociale netwerken, hersennetwerken en infrastructuurnetwerken, zoals telecommunicatie- en elektriciteitsnetwerken. ‘Eigenwaarden en eigenvectoren zijn toe te passen in haast elke wetenschappelijke discipline: natuurkunde, informatica, ingenieurswetenschappen, de medische wereld, de biologie, economie enzovoort. De toepassingen zijn geweldig breed.’
In de lucht
Van Mieghem ontdekte destijds ook al dat de formule al eerder was verschenen. ‘Het moeilijke in deze zaak is dat er vele verschillende, maar perfect equivalente vormen van de formule zijn. Terence Tao heeft me verteld in een email dat hij is nu bezig om alle mogelijke bronnen te vinden zodat hij er een uitvoerige samenvatting – een review – over kan schrijven.’
Dat een ontdekking in korte tijd meerdere keer gedaan wordt, vindt Tao niet vreemd. ‘Op de een of andere manier hangen de resultaten bijna in de lucht. Mensen beginnen dan net op de juiste plaatsen te zoeken’, zei hij tegen Quanta.
