Eindhoven (NL) – Een wiskundig project uitgevoerd aan de TU Eindhoven moest antwoorden brengen op de vraag of twee vergelijkingen dezelfde grafiek kunnen opleveren.


Levert x³+y²+1 dezelfde grafiek op als x³+3y²+xy²? Voor derdegraadsvergelijkingen valt deze vraag not wel te beantwoorden. Op een vierdegraadsvergelijking die de doorsnede van een lampenkap beschrijft, zoals x⁴+y³+2y²=3, beten wiskundigen zich echter stuk. Een nieuwe methode moet nu toch met deze lastige vergelijkingen overweg kunnen.

De wiskundigen ontwikkelden hun methode in een project van de Nederlandse Organisatie voor Wetenschappelijk Onderzoek NWO. Voor vierdegraadsvergelijkingen losten de onderzoekers het probleem op. De methode werkt ook voor de ingewikkeldere vergelijkingen van de vijfde graad.
De wiskundigen zetten eerst de vierdegraadsvergelijkingen om in tweedegraadsvergelijkingen. Er gaat dan informatie verloren, maar de verkregen vergelijkingen van de tweede graad zijn goed te begrijpen en op te lossen. Met de oplossing van de tweedegraadsvergelijkingen streepten de onderzoekers vervolgens een deel van de oorspronkelijke vergelijkingen van de vierde graad weg. De vergelijkingen die dan overblijven zijn op te lossen na wat rekenwerk.

De vierdegraadsvergelijking x⁴+y³+2y²=3 toont de vorm van een lampenkap.

.
De rekenmethode is geschikt voor vergelijkingen van de vierde graad en met wat aanpassingen voor vergelijkingen van de vijfde graad. In de toekomst willen de onderzoekers graag verdergaan, en overstappen op problemen van de zesdegraad of zelfs nog complexer.
Het probleem van gelijkvormigheid speelt een rol bij het herkennen van beelden door computers. De computer ziet bijvoorbeeld niet dat een echte lampenkap die op twee manieren is afgebeeld, eigenlijk een en dezelfde lampenkap is. Zou de computer de twee lampenkappen kunnen omzetten in twee wiskundige formules, dan kan hij met de nieuw ontwikkelde rekenregels berekenen dat de lampenkappen hetzelfde zijn. Zover is het nog niet. Computers hebben moeite met de eerste stap, het vertalen van de lampenkap naar een wiskundige formule.

NWO