Wiskundigen hebben een bewijs gevonden van een spannende wiskundige puzzel: het zogeheten geometrische langlands-vermoeden. Het bewijs is duizend pagina’s lang en zo ingewikkeld dat maar weinigen het begrijpen. Toch kan het belangrijke inzichten bieden in de wiskunde en natuurkunde.
Wiskundigen hebben een belangrijke bouwsteen bewezen van het zogeheten langlands-programma. Dat is een soort verbindende theorie in de wiskunde: een web dat verbanden legt tussen verschillende wiskundige disciplines die op het eerste gezicht niks met elkaar te maken lijken te hebben.
Het bewijs dat nu is gevonden, is het resultaat van tientallen jaren werk door tientallen wiskundigen. Het wordt gezien als een verbluffende prestatie. Maar waarom het zo belangrijk is? Het is zo obscuur en complex dat het ‘onmogelijk is om de betekenis van het resultaat uit te leggen aan niet-wiskundigen’, zegt wiskundige Vladimir Drinfeld van de Universiteit van Chicago. ‘Om eerlijk te zijn is het ook heel moeilijk, bijna onmogelijk, om dit aan wiskundigen uit te leggen.’
Dit is hoe we wiskundefobie te lijf kunnen gaan
Sarah Hart vertelt hoe we de angst voor getallen en formules weg kunnen nemen.
Verbindend web
Het langlands-programma vindt zijn oorsprong in een brief uit 1967 van de Amerikaanse wiskundige Robert Langlands aan zijn collega Andre Weil. In de brief opperde Langlands het radicale idee dat twee ogenschijnlijk ongerelateerde gebieden van de wiskunde, getaltheorie en harmonische analyse, in feite nauw met elkaar verbonden zijn. Langlands kon dit vermoeden niet bewijzen en wist ook niet zeker of hij gelijk had. ‘Als je bereid bent om het als pure speculatie te lezen, zou ik dat waarderen’, schreef hij. ‘Zo niet – dan heb je vast wel een prullenbak bij de hand.’
Als dit verband echt bestond, zou dat een aantal problemen in de wiskunde kunnen oplossen, zegt wiskundige Edward Frenkel van de Universiteit van Californië in Berkeley. ‘Langlands zag in dat moeilijke vragen in de getaltheorie opnieuw geformuleerd konden worden als meer hanteerbare vragen in de harmonische analyse’, zegt hij.
Met andere woorden: met het voorgestelde web van verbindingen zou je een probleem van het ene gebied van de wiskunde kunnen vertalen naar een ander gebied, waarin het vinden van een oplossing misschien gemakkelijker is. Dat zou voor gigantische doorbraken kunnen zorgen.
Het is niet ongehoord om wiskundige problemen op deze manier te vertalen. Denk maar aan de stelling van Pythagoras, die het verband geeft tussen de lengten van de zijden van een driehoek. Die stelling kun je bewijzen met meetkunde, het vakgebied dat naar vormen kijkt, of met algebra, door vergelijkingen op papier te zetten.
Talloze onderzoekers hebben sinds de jaren zestig geprobeerd Langlands’ voorgestelde verband te bewijzen. Dat heeft geleid tot verschillende ontdekkingen, waaronder de wiskundige toolkit die gebruikt is om de beruchte laatste stelling van Fermat te bewijzen. Maar een werkelijk bewijs liet op zich wachten.
‘Veel mensen zouden graag de oorspronkelijke formulering van het langlands-programma begrijpen, maar het is moeilijk en we weten nog steeds niet hoe we dat moeten doen’, zegt Frenkel.
Bollen en donuts
Eén veelbelovend idee was om Langlands’ vermoeden zélf te vertalen naar een ander wiskundig vakgebied, namelijk dat van de meetkunde ofwel geometrie – de studie van vormen. Die vertaling kreeg de naam het ‘geometrische langlands-vermoeden’. Maar ook deze ‘simpelere’ herformulering heeft wiskundigen decennialang achter de oren laten krabben en bleek duivels moeilijk te bewijzen.
Nu zeggen de Amerikaanse wiskundige Sam Raskin en zijn collega’s van Yale-universiteit dat zij het vermoeden hebben bewezen. Ze deelden hun bewijs in vijf wetenschappelijke artikelen die samen meer dan duizend pagina’s beslaan. ‘Het is echt een enorme hoeveelheid werk’, zegt Frenkel.
Het vermoeden waar Raskin zich over boog, gaat over objecten uit de harmonische analyse. Die beschrijft hoe complexe structuren wiskundig kunnen worden opgesplitst in hun onderdelen, net zoals je kunt luisteren naar de individuele instrumenten uit een orkest. In plaats van deze objecten te bestuderen met harmonische analyse, stelt het vermoeden dat je ook wiskundige methoden kunt gebruiken uit de meetkunde, zoals de schoventheorie en moduliruimten. Die beschrijven concepten met betrekking tot vormen zoals bollen en donuts.
Juist voorgevoel
De onderwerpen waar Raskin mee werkte zijn wel vergelijkbaar met die in de oorspronkelijke formulering van het vermoeden van Langlands, maar het is niet exact wat Langlands voor ogen had. Toch is dit een teken dat zijn voorgevoel juist was, zegt Raskin. ‘Iets wat ik spannend vind aan het werk, is dat het het langlands-programma in bredere zin bevestigt’, zegt Raskin.
‘Het is de eerste keer dat we een echt compleet begrip hebben van één hoekje van het langlands-programma. Dat is inspirerend’, zegt wiskundige David Ben-Zvi van de Universiteit van Texas, die niet betrokken was bij het werk. ‘Het biedt vertrouwen dat we begrijpen wat de belangrijkste problemen zijn. Er zijn een heleboel subtiliteiten en toeters en bellen en complicaties die opduiken [als je aan het vermoeden werkt], maar dit is de eerste keer dat deze allemaal systematisch zijn opgelost.’
Geïnteresseerde natuurkundigen
Dit werk zal ook andere wiskundigen die hopen het oorspronkelijke langlands-programma te kunnen kraken een steuntje in de rug bieden, zegt Ben-Zvi. Daarnaast kan het rekenen op interesse van theoretisch natuurkundigen, zegt hij. In 2007 ontdekten de natuurkundigen Edward Witten en Anton Kapustin namelijk dat het geometrische langlands-vermoeden ook mogelijk een symmetrie beschrijft tussen bepaalde natuurkundige krachten en theorieën
Het eenvoudigste voorbeeld hiervan is elektriciteit en magnetisme. Deze twee lijken elkaars spiegelbeelden te zijn, en zijn in veel scenario’s uitwisselbaar. De gevonden symmetrie werd daarnaast ook gebruikt door Witten om vijf concurrerende modellen in de snaartheorie te verenigen in één theorie, de overkoepelende M-theorie.
Maar voordat we op nieuwe wiskundige en natuurkundige doorbraken kunnen rekenen, is er werk aan de winkel. Zo moet het bewijs eerst eens doorgrond worden door meer wiskundigen. ‘Op dit moment is er een heel kleine groep mensen die echt alle details begrijpt’, zegt Ben-Zvi.
