Voor het maken van steeds betere en snellere elektronica moet je het gedrag van de componenten en circuits waaruit die elektronica bestaat goed kunnen simuleren. Numeriek wiskundige Wil Schilders ontwikkelt efficiënte methodes om deze simulaties mogelijk te maken.
We spreken met Wil Schilders op de dag dat de ‘vader van de sudoku’, Maki Kaji, is overleden. Kaji populariseerde het nummerspelletje en gaf het zijn huidige naam. Een bijzonder toeval: Schilders, hoogleraar numerieke wiskunde aan de Technische Universiteit Eindhoven, verslindt namelijk sudoku’s in zijn vrije tijd. Hij schreef zelfs drie boeken over hoe je deze populaire puzzels kunt oplossen. Telefoontjes van de media stromen binnen: of hij even kan vertellen hoeveel mensen in Nederland sudoku’s oplossen? ‘Dat weet ik ook niet, hoe moet ik daarachter komen? Dan moet je een steekproef laten doen door Maurice de Hond’, aldus Schilders. Waar hij zich wel in verdiept, is welke structuren er achter deze cijferpuzzels schuilgaan en met welke strategie je elke sudoku, hoe moeilijk ook, te lijf kunt gaan. Deze hobby staat symbool voor zijn werk als numeriek wiskundige: hij duikt diep in alle problemen die hij voorgeschoteld krijgt en ontwikkelt methodes om deze problemen op te lossen.
Jarenlang deed hij dat in de halfgeleiderindustrie. Halfgeleiders vormen de basiscomponenten van onze elektronica. Je kunt er bijvoorbeeld elektronische schakelaartjes van maken: transistoren. Staat zo’n schakelaar uit, dan geleidt die geen stroom en maakt een computer er een 0 van. Staat zo’n schakelaar aan, dan geleidt die wel stroom en maakt een computer er een 1 van. Met die nullen en enen voert een computer al z’n berekeningen uit.
Onbekende sterrenbeelden aan de hemel
Govert Schilling maakt je wegwijs aan het firmament. In december 2024 werpt hij een blik op onbekende sterrenbeelden.
Om de halfgeleiders en elektronische circuits in onze apparaten beter en efficiënter te maken, is wiskunde hard nodig. Je moet deze componenten dan namelijk eerst vangen in modellen: sets van vergelijkingen die hun gedrag onder allerlei omstandigheden beschrijven. Sla je hiermee aan het rekenen, dan levert dat een hele hoop getallen op – vandaar het ‘numeriek’ in numerieke wiskunde. Om alles enigszins behapbaar te houden, ontwikkelt Schilders methodes die met zo min mogelijk rekenwerk een zo nauwkeurig mogelijke oplossing geven.
Dertig jaar was Philips de plek waar Schilders zich met deze ‘puzzeltjes’ bezighield, tegenwoordig is dat de TU Eindhoven. Daarnaast kijkt hij nu hoe hij zijn kennis ook bij andersoortige problemen kan inzetten. Schilders: ‘Het abstracte denken van wiskunde kan voordelig zijn in heel veel andere disciplines.’
Wat hield uw werk als wiskundige bij Philips precies in?
‘De taak die wij hadden, was het simuleren van halfgeleiders. Voor die halfgeleiders heb je een wiskundig model: een set vergelijkingen die het gedrag van de halfgeleiders beschrijven. Die vergelijkingen waren ontzettend vervelend om op te lossen. De gebruikelijke methodes om dat te doen werkten allemaal niet. Door diep op de vergelijkingen in te gaan konden wij erachter komen waarom die standaardmethodes niet werkten en konden we vereenvoudigde vergelijkingen opschrijven die grofweg op hetzelfde neerkwamen.
Veel mensen in de industrie die met simulaties werken komen een probleem tegen en zeggen dan: ‘O ja, ik weet wel hoe dat opgelost kan worden.’ Dan blijkt hun oplossing voor probleem één te werken, maar voor probleem twee niet. Wij probeerden daarentegen echt heel diep te gaan, naar de basis, en te begrijpen waarom iets niet werkte. Vergelijk het met naar de huisarts gaan met hoofdpijn. De huisarts kan dan zeggen: ‘Hier heb je paracetamol, elke dag innemen, klaar.’ Maar wat hij ook kan doen, is even een halfuurtje met de patiënt praten. Dan komt hij er misschien achter wat er écht aan de hand is: bijvoorbeeld stress of een scheiding. Dan schrijft de huisarts waarschijnlijk iets anders voor.
We probeerden ook altijd ons voordeel te doen met de eigenschappen van het onderliggende probleem. Bij simulaties moet je altijd een beginschatting doen. Vanaf daar probeer je steeds dichter bij de juiste oplossing te komen. Bij de halfgeleidersimulatie lukte het ons eerst niet om een goede beginschatting te nemen. Toen hebben we op een gegeven moment met een elektronisch ingenieur uit het natuurkundig laboratorium van Philips gepraat. Die zei: ‘Waarom nemen jullie als beginschatting niet een simpele situatie waarin je de lading van de halfgeleider gelijkstelt aan nul?’ Dat bleek fantastisch te werken. Die oplossing was natuurkundig van aard, maar uiteindelijk konden we ook wiskundig verklaren waarom dat een juiste beginschatting was.’
Wordt die interdisciplinariteit steeds belangrijker?
‘Ja, we zitten steeds vaker in interdisciplinaire teams – en dat is ook nodig, denk ik. Enerzijds om het voorbeeld dat ik net gaf: met goed luisteren naar elkaar kun je je voordeel doen. Anderzijds omdat het abstracte denken van wiskunde weer voordelig kan zijn in heel veel andere disciplines.
Ik gebruik bij voorkeur ook ‘mimetische’ methodes. Die term komt van het Engelse mimic, dat nabootsen betekent. Dit zijn methodes die de eigenschappen van het oorspronkelijke probleem gebruiken en representeren. In de numerieke wiskunde is het vaak zo dat je allerlei standaardmethodes hebt die zijn gestoeld op heel algemene principes. Daar gebruik je typisch niet de eigenschappen van een probleem bij. Maar bij halfgeleiders weet je bijvoorbeeld dat het aantal elektronen in een stukje materiaal een positief getal moet zijn. Als er uit een vergelijking voor deze waarde een klein negatief getal rolt, dan zou je kunnen zeggen dat het ongeveer goed is. Maar een fysicus zou onverbiddelijk zijn en je manen om je huiswerk nog maar een keer te doen. Een ander voorbeeld is dat je weet dat stroom behouden moet blijven: wat erin gaat, komt er ook weer uit. Het verschil daartussen moet precies nul zijn. Niet 0,001 ofzo, want waar is die stroom dan gebleven? Ik ontwikkel mimetische methodes die hier rekening mee houden. Dat maakt de oplossingen nauwkeuriger en beter.’
Wat is de volgende stap, als u zo’n oplossing hebt ontwikkeld?
‘Meestal wordt er dan software van gemaakt. Bij Philips bedachten wij destijds wiskundige methodes om een probleem op te lossen, waarna informatici die methodes omzetten in code. Toentertijd was het maken van softwarepakketten nog helemaal niet gangbaar. Wij waren een van de eersten die dat deden.’
Hoe zag een werkdag bij Philips er concreet uit; was u veel aan het rekenen?
‘We waren vooral heel veel bezig met discussiëren over methodes. We werkten aan heel omvangrijke problemen: we moesten oplossingen vinden voor stelsels van tienduizenden vergelijkingen, soms zelfs een miljoen. Daar kun je de gebruikelijke wiskundige methodes op loslaten, maar dan treden er vaak problemen op die je weer nader moet analyseren. Wij keken hoe we een groot probleem konden reduceren tot een klein probleempje, maar met behoud van dezelfde moeilijkheden. Vervolgens kun je het op papier en met heel simpele software ontrafelen. En heb je een oplossing, dan kun je weer opschalen naar grotere problemen.’
Dit is een greep uit het uitgebreide interview met Wil Schilders dat verscheen in New Scientist 94 (december 2021). De editie met het volledige artikel is te koop in onze webshop.
