De formule waarin de vijf belangrijkste getallen samenkomen

De identiteit van Euler wordt alom gezien als de mooiste formule ooit, omdat hij de vijf belangrijkste getallen in de wiskunde verenigt. Maak kennis met deze geweldige getallencombinatie.

Wiskunde is emotie. In 2014 legde neurobioloog Semir Zeki vijftien wiskundigen onder een MRI-scanner. Hij liet ze zestig formules zien en mat de hersenactiviteit in een gebied dat actiever wordt wanneer je iets moois ervaart. De activiteit in het emotionele hersengebied was bij één formule duidelijk het grootst: de identiteit van Euler, oftewel e^iπ + 1 = 0.

LEES OOK

Kan een eenvoudig experiment een ‘donkere dimensie’ aan het licht brengen?

Onderzoekers vermoeden dat er een ‘donkere dimensie’ bestaat, waarin de ontbrekende materie van het heelal verstopt zit.

Niet gek, want deze vergelijking wordt binnen en buiten de wiskunde gezien als de mooiste formule ooit. Ze is te zien op T-shirts, graffitimuren en zelfs tatoeages. Het mooie eraan is dat de identiteit van Euler de vijf belangrijkste getallen in de wiskunde verenigt: de basale bouwstenen 0 en 1, de overal opduikende e en π en het vreemde verzinsel i. Bovendien bevat de formule de drie belangrijkste wiskundige bewerkingen: optellen, vermenigvuldigen (i keer π) en machtsverheffen.

De identiteit volgt uit een algemene ­formule die de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler opstelde in de achttiende eeuw (e^ix = cos x + i sin x; vul π in voor x en klaar is Kees). Of Euler de identiteit uit zijn eigen formule heeft ontwikkeld, is gek genoeg onbekend. Ook is onduidelijk wie e^iπ  = -1 om esthetische redenen heeft veranderd in e^iπ + 1 = 0. Wie het ook was, we zijn diegene dankbaar.

Ondanks de ogenschijnlijke eenvoud is de identiteit van Euler volstrekt onbevattelijk. Je combineert twee getallen met ­eindeloos veel decimalen en de niet-­bestaande wortel van -1. Daar tel je 1 bij op. Hoe kan dat nou op precies 0 uitkomen? ‘We begrijpen het niet, we weten niet wat het betekent, maar we hebben het bewezen en dus moet het wel waar zijn’, aldus de Amerikaanse wiskundige Benjamin ­Peirce.

e

Stel: je hebt een bank die jaarlijks maar liefst 100 procent rente uitkeert. Je maakt natuurlijk meteen een spaar­rekening aan en zet er 1 euro op. Als de rente wordt uitgekeerd, stijgt je saldo naar 2 euro.

Stel nu dat de rente vaker wordt uit­gekeerd: in plaats van één keer 100 procent, bijvoorbeeld twee keer 50 procent. Dan gaat je saldo halver­wege het jaar van € 1 naar € 1,50, en aan het eind van het jaar naar € 2,25. Oftewel: € 1 × 1,5² = € 2,25.

Deze rekensom kun je veralgemeniseren voor een willekeurig aantal uit­keringen per jaar. Het saldo dat je na n uit­keringen overhoudt, is € 1 × (1 + 1/n)ⁿ. Als je elke maand rente krijgt, bedraagt je ­saldo bijvoorbeeld € 1 × (1 + 1/12)¹² = € 2,61. En als je elke week rente krijgt, wordt het € 1 × (1 + 1/52)⁵² = € 2,69.

Wat als je oneindig vaak rente krijgt? Dan bedraagt je saldo afgerond € 2,718281828459. Of om precies te zijn: e euro.

e-zelsbruggetje

Wil je de decimalen van e uit je hoofd leren? Onthoud dan bijvoorbeeld het volgende Engelse zinnetje:

‘We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: ‘!’ when first it was found, yes, loudly ‘!’.’

Het aantal letters per woord geeft elk cijfer weer. Het uitroepteken staat voor het cijfer 0.

Door dit renteprobleem op te lossen, ontdekte de Zwitserse wiskundige ­Jacob Bernoulli eind zeventiende eeuw het getal e. Leonhard Euler wees er ­later de letter e aan toe en bewees bovendien een reeks eigenschappen ervan. Zo is het getal irrationaal: je kunt het niet schrijven als breuk van twee gehele getallen.

Het getal e staat aan de basis van exponentiële groei: het verschijnsel waarbij de mate van verandering evenredig is met de omvang. Het aantal baby’s dat ergens wordt geboren, hangt bijvoorbeeld af van het totale ­aantal mensen, zodat de bevolking exponentieel kan groeien. Naast spaarrente en bevolkingsgroei gebruik je e bij berekeningen over ­onder andere bacteriepopulaties, virusverspreiding en radioactief verval.

i

Wat is de wortel van -1? Bestaat niet, schreeuwen je intuïtie en rekenmachine in koor. Want iets keer zichzelf is nooit negatief – plus keer plus is plus, min keer min is ook plus (en nul keer nul is nul). Maar hij bestaat toch, hebben wiskun­digen besloten. De wortel van -1 is i.

Dit getal heeft op het eerste gezicht niks te maken met de werkelijkheid. Je kunt niet i appels kopen, of 100 keer i meter hardlopen. Toen Italiaanse wiskundigen het getal in de zestiende eeuw invoerden, reageerden andere wetenschappers dan ook sceptisch. De Franse alleskunner René Descartes – nota bene bekend van de spreuk ‘ik denk, dus ik ben’ – sprak in 1637 smalend over een ‘imaginair’ getal, een term die later is ­gehandhaafd.

Imaginaire getallen zijn reële getallen – getallen die je met gewone cijfers kunt uitdrukken – vermenigvuldigd met i. Als je de reële getallen voorstelt als punten op een eindeloos lange horizontale lijn, dan zijn de imaginaire getallen punten op een eindeloos lange verticale lijn. Samen vormen die lijnen het assenstelsel van een eindeloos vlak. Alle punten op dat vlak zijn de ­verzameling van de ‘complexe getallen’.

Uit het werk van Euler en zijn tijdgenoten bleek dat complexe getallen verrassend veel praktisch nut hebben. Zo kun je de sinus en de cosinus met het getal i omschrijven tot exponentiële machten – iets waar uiteindelijk de identiteit van Euler uit volgt. Dat helpt bij berekeningen van trillingen en golfbewegingen. Dat had Descartes mooi niet bedacht.

π

De reeks toepassingen van π is bijna net zo eindeloos als het getal zelf. ­Vermenigvuldig 3,14159265… met de diameter van de cirkel en je hebt de omtrek. Vermenigvuldig het getal met de straal in het kwadraat en je hebt de oppervlakte van de cirkel.

Daarnaast duikt π op in allerlei formules, waar­onder de slingerformule van Huygens en de Einsteinvergelijking van de ruimtetijd. De eerste acht decimalen komen voor in de Griekse tango van drs. P, en de Britse zangeres Kate Bush zingt in het nummer Pi zelfs de eerste 137 decimalen, waarbij ze om duistere redenen wel 22 cijfers overslaat.

De Griekse wiskundige Archimedes (eureka!) probeerde in de derde eeuw v. Chr. al de precieze waarde van π uit te rekenen. Hij tekende steeds grotere regelmatige veelhoeken in en om een cirkel – beginnend met een zeshoek en eindigend met een 96-hoek. Door de omtrek van deze veelhoeken te delen door de diameter van de cirkel, plaatste Archimedes de waarde van π ­ergens tussen de breuken 223/71 en 22/7.

Aan dit Griekse pionierswerk danken we nog steeds de letter π, afgeleid van periphereia of perimetros, wat allebei ‘omtrek’ betekent. Het was Euler die het gebruik van deze letter populariseerde. Kort daarna werd bewezen dat het getal π net als e irrationaal is, zodat het tevens oneindig veel decimalen bevat.

Met ’n vers π leren ­onthouden

De kunst van het onthouden van ­decimalen van π staat bekend als ‘piphilologie’. Het officiële wereld­record staat op naam van de Indiër Suresh Kumar Sharma, die 70.030 cijfers wist op te lepelen. De Japanner Akira Haraguchi schijnt zelfs meer dan 100.000 decimalen te kunnen reciteren.

Wil je ook philoloog worden? Leer dan net als bij e eerst een zinnetje uit het hoofd, zoals:

‘How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.’

In 2019 vestigde Google een record door via cloud computing 31,4 biljoen decimalen van π uit te rekenen. Dat aantal was uiteraard niet toevallig gekozen, net zomin als de dag waarop het record werd bekendgemaakt: 14 maart, oftewel 3/14, oftewel pi-dag (trouwens ook de geboortedag van Albert Einstein en de sterfdag van Stephen Hawking. Toeval? Ja).

Wanneer je die decimalen bekijkt, lijkt het erop dat π, hoe bijzonder ook, een ‘normaal’ getal is. Dat wil zeggen dat elk cijfer in de decimalen ongeveer even vaak voorkomt. Als π inderdaad normaal is, is elke denkbare cijfercombinatie ergens in de eindeloze rij decimalen te vinden. Je telefoon­nummer, de getallen 1 tot en met 1000 op volgorde, en als je de cijfers omzet in letters zelfs alle werken van Shakespeare. 20 15 2 5 15 18 14 15 20 20 15 2 5?

1

Het getal 1 is de basis van ons getallen­systeem. Het is weliswaar alleen deelbaar door 1 en zichzelf, maar toch volgens afspraak geen priemgetal. Tot aan de middeleeuwen beschouwden de meeste ­wiskundigen 1 zelfs überhaupt niet als ­getal – meer als een soort bouwsteen van alle getallen.

0

Ook 0 werd lange tijd niet gezien als getal. De Babyloniërs hadden wel enkele eeuwen v. Chr. een symbool dat in grote getallen functioneerde als nul – zoals de 0 in 603 aangeeft dat er nul tientallen zijn. Dit symbool kwam echter nooit in zijn eentje voor en ook niet aan het eind van een ­getal. Een echte nul was het dus niet.

De oude Grieken gebruikten in hun fenomenale wiskunde eveneens geen nul zoals wij die kennen. De uitvinding daarvan wordt meestal toegeschreven aan de Indiase ­wiskundige Brahmagupta, die in de zevende eeuw n. Chr. in zijn werk Brahmasputha ­Siddhanta de echte nul introduceerde, ­samen met de negatieve getallen. Pas in 1202 bracht de Italiaanse wiskundige ­Fibonacci (bekend van de rij 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8…) de nul Europa binnen.

Inmiddels is de nul niet meer uit ons getallensysteem weg te denken. Toch is er soms nog twijfel over zijn precieze status. Zo is 0 in ­België zowel positief als negatief, maar in Nederland geen van beide.

Dit artikel komt uit de New Scientist-special Wonderlijke Wiskunde.