1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12

Ben je klaar om van verbazing achterover te vallen? Dan nodig ik je uit om op de bovenstaande video te klikken. In deze video laat YouTuber Numberphile (a.k.a. Brady Haran) zien dat de som van alle natuurlijke getallen -1/12 is.

Ofwel, 1 + 2 + 3 + 4 + …… = -1/12

'Een diverse omgeving doet er niet toe als het gaat om opvattingen over nationale identiteit'

Wonen in een diverse stad, zoals Amsterdam of Rotterdam, heeft weinig invloed op hoe mensen denken over de nationale identiteit, ontdekte socioloog Ma ...

Hoewel dit feitje voor de meeste wis- en natuurkundigen geen nieuws is, zorgde de video voor veel ophef en verbazing bij de rest van de wereld. Want hoe kan iets wat oneindig groot lijkt te worden nu -1/12 blijken? In de video geeft natuurkundige Tony Padilla een simpel antwoord. Voor de sceptici onder ons schreef hij ook nog een meer uitgebreide blog. Daarnaast publiceerde het kanaal Numberphile een extra video waarin de mysterieuze som nogmaals figureert.

Het is geen raadsel waarom de inmiddels 1,6 miljoen kijkers nog steeds achter hun oren krabben. Het is redelijk onvoorstelbaar dat deze som kan kloppen. Natuurlijk helpt het niet echt dat Padilla zijn bewijs wat ‘wiskundig hocuspocus’ noemt – terwijl ook een rigoureus bewijs hetzelfde resultaat oplevert. En is dat orenkrabben misschien toch niet onterecht? Evelyn Lamb neemt het bedrieglijk simpele bewijs nog eens goed onder de loep in deze blog van Scientific American.

Zelfs de New York Times merkte de video op. Zij spraken met wiskundige Edward Frenkel, die toegaf dat ‘deze berekening een van de best bewaarde geheimen van de wiskunde’ is.

Of eigenlijk: een van de best bewaarde geheimen van de wiskunde was.

Over de auteur

Ans Hekkenberg

Ans is redacteur bij New Scientist. Ze studeerde natuur- en sterrenkunde en wetenschapscommunicatie. Ze is fanatiek gamer en stripboekenfanaat. Volg Ans (@GirlForScience) ook op Instagram.

Reacties
Reacties verbergen

M. van Dinther schreef:

13 februari 2014 om 18:38

Mij lijkt het volgende:
a) +1-1+1-1+1…..=+1 maar ook +1-1+1-1+1-1…..=0
b) -1+1-1+1-1…… =-1 maar ook -1+1-1+1-1+1…. =0
Het hangt er vanaf waar je begint en waar je ophoudt, maar uiteindelijk mag je nooit beginnen of ophouden, dus de som alterneert in eerste geval (a) tussen +1 en o met een gemiddelde van +0.5.
in het tweede geval (b) alterneert de som tussen -1 en 0 met het gemiddelde -0.5.
Het overall gemiddelde wordt dan weer 0 en niet +0.5 zoals wordt beweerd.
De rest van de gehele afleiding gaat dan ook niet meer op natuurlijk.

Beantwoorden
- Jos schreef:
  
  13 februari 2014 om 23:07
  
  Stel S = 1-1+1-1+1-1+1-…, dan
  S+S=
  1-1+1-1+1-1+1-…+
  1-1+1-1+1-1+1-…
  =1
  Dus 2*S=1, en S =1/2
  
  Beantwoorden
- Turk4U2 schreef:
  
  11 mei 2014 om 09:39
  
  Zo ken ik er nog wel een paar:
  
  S1 = 1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6 + 7+ …..
  S2 = 1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1+ …..
  ∞
  of S2 = ∑ 1
  1
  
  S1 = 1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6 + 7+ …..
  – S1 = 1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6 + 7+ …..
  = 1 + 1 + 1 +1 +1 + …… = S2
  
  S1 – S1 = S2
  S2 = 0 ????????
  
  Beantwoorden
Stefan Noppen schreef:

14 februari 2014 om 00:01

‘t Is al langer geweten dat S = 1-1+1-1+1-1+…… geen oplossing heeft of hoe je door wat gegoochel (bijvoorbeeld door ook te stellen dat -S = -1+1-1+1-1+1….(vermenigvuldig met -1) en trek vervolgens beide reeksen van elkaar af en je verkrijgt eveneens 2S = 1 of S = 1/2.
In het filmpje verkondigen ze dat nog met wat meer poeha. (en lekker lachen in het vuistje)
Illusionistische wiskunde dat helemaal geen geheim is of was. (Best bewaard geheim van de wiskunde???? Laat me niet lachen)

Beantwoorden
Joop van Belzen schreef:

14 februari 2014 om 12:44

Het enige wat dit bewijst is dat je wiskunde zoals die door velen wordt uitgeoefend moet wantrouwen!
Dit kun je opmaken uit de eerste uitleg van 1-1+1-1+1… =1/2
Hier wordt je al op het verkeerde been gezet omdat het begrip “gemiddelde” wordt toegepast! Wat op zich onzin is want de uitkomst is nooit een 1/2 maar 1 of 0.
De som 1+2+3+4+5….. gaat tot het oneindige door dus is er geen antwoord mogelijk. In de wis- en natuurkunde wordt veel gebruik gemaakt van begrippen die geen echte natuurkundige feiten zijn maar verzonnen door de mens.
Tijd, oneindigheid en de nul zijn begrippen die in werkelijkheid niet bestaan.
Theorieën zoals de kwantummechanica, relativiteitstheorie en de afgeleiden daarvan zijn in wezen gebaseerd op wiskundige trucjes; toegepast door zeer geleerde dames en heren. De uitkomsten kloppen (dikwijls bij benadering), jawel maar dat geld ook voor de berekeningen die in de middeleeuwen werden gedaan over de stand van de planeten (compleet met lus). Toen men dacht dat de aarde het middelpunt was van het heelal.

Beantwoorden
- Peter Lake schreef:
  
  19 maart 2014 om 00:57
  
  “De som 1+2+3+4+5….. gaat tot het oneindige door dus is er geen antwoord mogelijk. ”
  Het lijkt mij dat het antwoord van 1+2+3+4+5….oneindig ook oneindig is. Tenzij je ergens afkapt. Maar als je afkapt, dan wordt de bedoelde vraag anders. Toch?
  
  Beantwoorden
Philippe J. Roussel schreef:

14 februari 2014 om 13:08

Het klassieke gegoochel met niet-convergerende reeksen waarvan elke zichzelf respecterende wiskundige hoort te weten dat in zo’n gevallen de stelling over additiviteit niet opgaat. Die fysici zouden zich moeten schamen!

Beantwoorden
Niko van Schaik schreef:

14 februari 2014 om 14:04

Inderdaad , klassiek. Quantum- fysici blijken regelmatig tegen intuïtief moeilijk te behappen zaken aan te lopen die in de ‘echte’ wereld (die tenslotte van de quantum processen aan elkaar hangt) dan toch dit soort wiskundige extrapolatie (of zo je wilt pokhouterigheid) gehoorzamen. De wiskunde is dus geldig en heeft nuttige toepassingen. Maar het commentaar uit de blog van Evelyn Lamb is natuurlijk ook waar. Zelfs wie op het VWO goed heeft opgelet kan, tenzij enigszins ingevoerd in deze materie, alleen maar concluderen dat hij/zij het allemaal toch niet begrepen heeft. De fysici moeten zich schamen omdat ze de belangstellende leek verwarren met hun bijzondere uitkomsten zonder de context te geven waarin die uitkomsten iets betekenen.

Beantwoorden
Frans Verdonk schreef:

19 februari 2014 om 09:43

dit is is een reactie van mijn zoon, die nu bezig is met afstuderen wiskunde op deVU in Amsterdam:
Leuk uitgelegd maar complete onzin. Hopelijk gebruiken die mensen van snaar theorie dit resultaat niet want dan ben ik bang wat er wat op lossen schroeven staat. Het probleem is dat ze, op het eind van het filmpje, een ‘vergelijking’ hebben opgesteld in S. Maar S is geen getal en daar kan je niet mee rekenen en dus geen vergelijkingen mee bestieren. Ook is deze som, die ze dus aanduiden met S, altijd groter dan 1. Nu is 1 dus altijd een ‘ondergrens’ van S. Aangezien -1/12 kleiner is dan 1, is dit in strijd met de claim.

Beantwoorden
Jan Sierens schreef:

19 februari 2014 om 19:47

Er worden minstens 2 grote fouten gemaakt in de berekening op de video clip:
1) er wordt een gebruik gemaakt van een gemiddelde om aan te tonen dat de uitkomst 1/2 is terwijl dit nooit zo zal zijn. De uitkomst zal 0 of 1 zijn afhankelijk waar je stopt maar nooit 1/2.
2) een nog grotere fout wordt gemaakt door reeksen die niet met gelijke snelheid lopen gelijk te stellen. Hiermee bedoel ik dat hij op een gegeven ogenblik alle nullen uit de reeks wegsmijt als onbelangrijk. Die reeks loopt dus ineens dubbel zo snel en mag je dus niet zo gebruiken om van de andere reeks een wiskungige formule op uit te voeren die geld voor getallen. Men haalt hier getallen en reeksen door elkaar.

Beantwoorden
- Peter Lake schreef:
  
  19 maart 2014 om 03:00
  
  geldt
  
  Beantwoorden
arie schreef:

20 februari 2014 om 23:38

Met soortgelijke redenatie:
S = -1/12
dus
12S = -1
waardoor:
S1 = 1-1+1-1+1-1+….
= 1+12S+1+12S+1+12S+…

Bereken nu S1-S1:
S1 – S1 = 1/2 – 1/2 = 0
maar ook:
S1 – S1 = (1+12S+1+12S+1+12S+…) – (1-1+1-1+1-1+….)
= (1+12S+1+12S+1+12S+…) + (-1+1-1+1-1+1-….)
= (1-1) + (1+12S) + (1-1) + (1+12S) + (1-1) + (1+12S) +…
= 0 + (1+12S) + 0 + (1+12S) + 0 + (1+12S) +…
= 1+12S+1+12S+1+12S+…
= S1 = 1/2
dus
S1 – S1 = 0 = 1/2
ofwel
0 = 1
Eureka!
Of toch niet…

Beantwoorden
- Jan Sierens schreef:
  
  21 februari 2014 om 21:19
  
  Inderdaad.
  
  En de fout zit hier:
  S1= 0 + (1+12S) + 0 + (1+12S) + 0 + (1+12S) +…
  != 1+12S+1+12S+1+12S+ 1+12S+1+12S+1+12S+…
  
  Dat klopt niet want S1 is een reeks. Om het duidelijker te maken kan je het zo schrijven:
  Sx= 0 , (1+12S) , 0 , (1+12S) , 0 , (1+12S), …
  != 1+12S, 1+12S, 1+12S,1+12S, 1+12S, 1+12S,…
  
  En dan zie je duidelijk dat de redenering niet opgaat. Ook als je de … weglaat in de som. Het enige wat je kan besluiten is dat oneindig meestal niet gelijk is aan oneindig. Er bestaan dus een oneindig aantal unieke oneindig.
  
  Beantwoorden
J. Belzen schreef:

25 februari 2014 om 17:19

Waar maken we ons druk over.
In principe kunt je van een proces wat nog loopt geen eindresultaat (in dit geval de som) berekenen. Dus van een reeks als 1+2+3+4… die steeds maar doorgaat kun je pas de som bepalen als het stopt! Dat antwoord wat hieruit komt snapt dan iedereen.

Beantwoorden
Paul Verbruggen schreef:

27 maart 2014 om 15:44

hoe kan een aanname wetenschappelijk zijn ?

als iets geen einde heeft , heeft het dus geen uitkomst

Beantwoorden
Paul Verbruggen schreef:

27 maart 2014 om 15:47

bv als je een ei eindeloos kan late vallen , zonder dat het iets raakt .
dan is het toch ook niet half gebroken

Beantwoorden

1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12

'Een diverse omgeving doet er niet toe als het gaat om opvattingen over nationale identiteit'

Delen:

Over de auteur

Reacties
Reacties verbergen

Plaats een reactie Reactie annuleren

Subtotaal	€ 0,00
Totaal	€ 0,00

1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12

'Een diverse omgeving doet er niet toe als het gaat om opvattingen over nationale identiteit'

Delen:

Over de auteur

Reacties Reacties verbergen

Plaats een reactie Reactie annuleren

Reacties
Reacties verbergen