Als je een oneindige loterij hebt, kun je dan een lot maken waarmee je altijd wint? Dit is de basis van een vijftig jaar oud wiskundig probleem dat nu is opgelost.

In een standaardloterij heb je een lot waarop een handvol getallen staat. Als die getallen overeenkomen met de willekeurig gekozen getallen van de loterij, heb je een winnend lot.

Op één lot kunnen meerdere rijtjes met getallen staan. Dat geeft je meerdere kansen om te winnen. In theorie kan een lot elke mogelijke winnende combinatie van getallen bevatten, zolang het maar genoeg rijtjes heeft. In de praktijk kost zo’n lot alleen dermate veel geld dat je daar niks mee opschiet.

Bij een oneindige loterij is de situatie anders. De winnende verzameling getallen is oneindig groot. Daarnaast kan elk lot oneindig veel rijtjes bevatten, waarbij elk rijtje uit een oneindig aantal getallen bestaat. In deze situatie is het een stuk moeilijker te achterhalen of je een lot kunt maken waarmee je altijd wint.

Een halve eeuw geleden was wiskundige Adrian R. D. Mathias de eerste die deze vraag opwierp. Wiskundigen David Schrittesser en Asger Törnquist van de universiteit van Kopenhagen hebben nu het antwoord gevonden: het is onmogelijk om een lot op te stellen waarmee je een oneindige loterij altijd wint.

Samenklonterende getallen

‘Dertig jaar lang keek niemand [naar de vraag] om, maar toen raakten mensen er plots weer in geïnteresseerd. Dat is heel fijn om te zien’, zegt Mathias. Zo’n twintig jaar geleden werd het probleem namelijk door enkele wiskundigen herontdekt. Langzaam boekten ze vooruitgang. Uiteindelijk trok het probleem ook de aandacht van Schrittesser en Törnquist. Die hadden vier jaar nodig om het te kraken.

Voor een oneindige loterij heb je een oneindig grote lotingstrommel nodig.

Het duo ging het probleem te lijf met ideeën uit de Ramsey-theorie. Dat is een deelgebied van de wiskunde dat kijkt naar het verschijnen van ordening in grootschalige structuren. Schrittesser en Törnquist ontdekten dat in een oneindige loterij een bepaald soort structuur optreedt. Dat betekent dat de winnende getallen op zo’n manier samenklonteren, dat een altijd winnend lot simpelweg niet kan bestaan.

‘Bij dit soort problemen kun je niet aan je bureau gaan zitten en zeggen: ik ga degene zijn die dit oplost. Vele anderen hebben dat namelijk ook al geprobeerd’, zegt Schrittesser. ‘Er komt een beetje toeval bij kijken.’

De oplossing van Schrittesser en Törnquist is gepubliceerd in vakblad Proceedings of the National Academy of Sciences (hier vind je een online voorpublicatie).

LEESTIP. In Wiskunde is overal neemt Ben Orlin je met veel humor en vooral heel veel slechte tekeningen mee in de wereld van de wiskunde. Bekijk in onze webshop. Ook verkrijgbaar als paperback