Wat krijg je als je drie derdemachtsgetallen bij elkaar optelt? Dat is een vraag die wiskundigen al eeuwenlang bezighoudt.

In 1825 bewees wiskundige S. Ryley dat elke breuk geschreven kan worden als de som van drie breuken tot de derde macht. In de jaren vijftig vroeg wiskundige Louis Mordell zich af of hetzelfde mogelijk was voor gehele getallen. Met andere woorden: kun je elk geheel getal k opschrijven als k = x3 + y3 + z3, waarbij ook x, y en z gehele getallen zijn?

Het antwoord is nee. Er zijn getallen waarvan we zeker weten dat dit onmogelijk is, waaronder 4, 5, 13 en 14. Maar het blijft een uitdaging om oplossingen te vinden voor getallen waarbij het wél kan.

Duivels moeilijk

‘Het is duidelijk dat er wiskundige problemen bestaan die je gemakkelijk kunt formuleren, maar die duivels moeilijk zijn om op te lossen’, zegt Andrew Booker van de universiteit van Bristol in het Verenigd Koninkrijk. Een beroemd voorbeeld daarvan is de laatste stelling van Fermat.

Wat betreft het derde-macht-probleem zijn we nu dankzij Booker weer een stapje verder. Hij heeft een som gevonden voor het getal 33. Dat was tot nog toe het laagste getal waarvoor géén oplossing bekend was. Met behulp van een computerprogramma ontdekte Booker de volgende oplossing:

33 = 8.866.128.975.287.5283 + (-8.778.405.442.862.239)3 + (-2.736.111.468.807.040)3

Rekentijd

Om de benodigde rekentijd te beperken, heeft het programma bepaalde combinaties van getallen buiten beschouwing gelaten. ‘Bijvoorbeeld: als x, y en z allemaal grote positieve getallen zijn, dan is het onmogelijk dat de optelsom x3 + y3 + z3 een klein getal oplevert’, zegt Booker. Zelfs met deze beperkingen had het vinden van de oplossing één computer vijftien jaar aan rekentijd gekost. In werkelijkheid duurde het drie weken om tot een resultaat te komen.

Voor sommige getallen is het vinden van een oplossing voor de vergelijking k = x3 + y3 + z3 eenvoudig, maar bij andere gaat het om enorme getallen. ‘Het is heel simpel om oplossingen te vinden voor het getal 29. We weten ook een oplossing voor 30, maar die is pas in 1999 gevonden en de benodigde getallen zijn in de miljoenen’, zegt Booker.

Een ander voorbeeld is het getal 3, dat in ieder geval twee eenvoudige oplossingen heeft: 13 + 13 + 13 en 43 + 43 + (-5)3. ‘Maar tot op de dag van vandaag weten we nog steeds niet of er méér oplossingen zijn’, zegt Booker.

Pas in 2016 vonden we de oplossing voor het getal 74. Met de nieuwe oplossing voor 33 is nu alleen 42 een getal onder de 100 waarvoor nog geen oplossing bekend is. Onder de 1000 zijn er nog 12 onopgeloste getallen.

LEESTIP. Priemwoestijnen neemt je mee naar de hoogtepunten uit de wiskunde van de 21e eeuw. Bestel in onze webshop.