Brouwermedaille voor grondlegger van Fermat-bewijs

Hij zette een cruciale stap naar een van de belangrijkste wiskundedoorbraken van de eeuw. Het werk van de Amerikaanse getaltheoreticus Kenneth Ribet vormde een opmaat voor het bewijs van de beruchte laatste stelling van Fermat. Voor zijn bijdrage krijgt hij vandaag de Brouwermedaille uitgereikt.

Ken Ribet ontving op 11 april de Brouwermedaille. Foto: Gil Cavalcanti
Ken Ribet met de Brouwermedaille. Foto: Gil Cavalcanti

Het is geen Fieldsmedaille of Abelprijs, de prijzen die doorgaan voor de Oscars voor wiskundigen, maar de prijs wordt wél genoemd in de lijst ‘Medals, Prizes and other honours’ van het MacTutor History of Mathematics Archive: de Brouwermedaille. De bekroonde MacTutor-website noemt deze Nederlandse onderscheiding ‘van aanzienlijke internationale prestige’.

De prijs is dit jaar toegekend aan de 68-jarige Amerikaanse getaltheoreticus Kenneth Ribet, verbonden aan de universiteit van Californië, Berkeley. Hij kreeg de medaille op 11 april uitgereikt tijdens het Nederlands Mathematisch Congres in Utrecht. De jury eerde Ribet onder meer voor zijn bijdragen die uiteindelijk leidden tot het bewijs van de laatste stelling van Fermat.

Fermat? Die stelling was toch bewezen door Andrew Wiles? Klopt, en daar kreeg hij vorig jaar de Abelprijs voor. Maar aan dit bewijs ging een ruim 350 jaar lange geschiedenis vooraf. En Ribet heeft in die geschiedenis een cruciale rol gespeeld.

Het is een van de beroemdste verhalen uit de wiskunde: de Fransman Pierre de Fermat beweerde in 1637 – hoogstwaarschijnlijk ten onrechte – dat hij een ‘spectaculair bewijs’ had voor de stelling dat er geen geheeltallige oplossingen zijn voor de vergelijking xn + yn = zn, waarbij de exponent n groter is dan 2. Wél liet hij, 22 jaar later, een waterdicht bewijs na voor het specifieke geval n = 4. In de twee eeuwen die volgden, vonden wiskundigen bewijzen voor de exponenten 3, 5 en 7. Daarmee waren ook de gevallen waarbij n een veelvoud is van 3, 4, 5 of 7 bewezen.

De pracht van priemgetallen. Het verhaal van een eeuwenlange zoektocht naar verborgen patronen
LEESTIP De pracht van priemgetallen Rudi Penne & Paul Levrie, € 17,95 Bestel in onze webshop

Maar Fermats raadsel bleef onopgelost voor exponenten die een groter priemgetal dan 7 waren. Pas in de negentiende eeuw werd een grote stap voorwaarts gezet: voortbouwend op werk van achttiende-eeuwse wiskundigen bewees de Duitser Ernst Kummer de gevallen waarbij de exponent in de Fermatvergelijking een ‘regulier’ priemgetal is.

Een priemgetal p heet regulier als geen van de getallen 12 + 22 + … + p2, 14 + 24 + … + p4 tot en met 1p–3 + 2p–3 + … + pp–3 deelbaar is door p2. Er zijn ook andere definities; Kummer gaf er één in termen van Bernoulli-getallen. Hoewel deze getallen – door de zeventiende-eeuwse Zwitser Jakob Bernoulli gebruikt om een algemene formule te vinden voor de som van kwadraten, derdemachten, vierdemachten enzovoort – zich niet eenvoudig laten beschrijven, zijn ze niet al te lastig te berekenen; de eerste tien waarden zijn 1, –1/2, 1/6, 0, –1/30, 0, 1/42, 0, –1/30, 0.

Volstrekte nieuwheid

In de jaren twintig van de vorige eeuw bewees de Fransman Jacques Herbrand een stelling waarin hij Kummers definitie van reguliere priemgetallen gebruikte: áls een of andere eigenschap voor een priemgetal p – te ingewikkeld om hier te beschrijven – geldt, dán deelt p de teller van de eerste p Bernoulli-getallen. Ribet bewees hier in 1976 de omkering van: áls p de teller van de eerste p Bernoulli-getallen deelt, dán bezit p die ingewikkelde eigenschap. Dat was een spectaculair resultaat, want het maakte duidelijk waarom Kummers bewijs van ‘Fermat’ spaak liep in de gevallen waarbij de exponent een priemgetal is dat niet regulier is.

Tijdens het Nederlands Mathematisch Congres op 11 april gaf Ken Ribet de Brouwerlezing. Foto: Gil Cavalcanti
Tijdens het Nederlands Mathematisch Congres op 11 april gaf Ken Ribet de Brouwerlezing. Foto: Gil Cavalcanti

De wiskundige Hendrik Lenstra, voorzitter van de jury van de Brouwerprijs, noemt deze veertig jaar oude doorbraak zo belangrijk ‘vanwege de toentertijd volstrekte nieuwheid van de gebruikte middelen’. ‘Ribet was de eerste die diepe algebraïsche meetkunde in de algebraïsche getaltheorie toepaste. Het duurde even voor mensen daaraan gewend waren, maar toen waren de verdere resultaten die op vergelijkbare wijze bewezen konden worden dan ook niet van de lucht,’ zegt Lenstra. Dankzij het werk van Ribet kreeg bijvoorbeeld de ‘Iwasawa-theorie’ een enorme impuls. Later bleek die theorie een essentieel ingrediënt in het uiteindelijke bewijs van ‘Fermat’.

Ribets tweede doorbraak, die hem in bredere kringen in de schijnwerpers zette, kwam een decennium later. Het begon eind 1984, toen een gezelschap van getaltheoretici in het Duitse Oberwolfach voor een conferentie bijeenkwam. De Duitser Gerhard Frey gaf daar een lezing over het ‘modulariteitsvermoeden’, in de jaren vijftig geformuleerd door Yutaka Taniyama en Goro Shimura. Dat ging over elliptische krommen: veeltermen van de vorm y2 = ax3 + bx2 + cx, die overigens maar indirect met ellipsen te maken hebben. Het Japanse duo vermoedde dat alle elliptische krommen één en dezelfde eigenschap bezitten, die wiskundigen ‘modulair’ noemen.

Frey presenteerde in Oberwolfach een schitterende vondst: de waarheid van Fermats laatste stelling zou volgen uit een bewijs voor het modulariteitsvermoeden. Zijn redenering was als volgt. Stel nou dat Fermat het fout had, dus dat er wél een oplossing voor de Fermatvergelijking bestaat. Die specifieke oplossing zou vervolgens een specifieke elliptische kromme tot gevolg hebben: een kromme die zó abnormaal zou zijn, dat die nooit modulair kon zijn. Maar dát kon nu juist niet volgens Taniyama en Shimura. Freys vermoeden hield dus in dat als een ánder vermoeden (dat van Taniyama en Shimura) waar is, hieruit volgt dat Fermats laatste stelling waar is.

Freys bewijs van deze implicatie was niet helemaal sluitend, maar het wegwerken van de omissie leek geen ingewikkelde klus. Zijn inzicht dat ‘Fermat’ een logisch gevolg van ‘Taniyama-Shimura’ is, kreeg de naam ‘epsilonvermoeden’. Dat vond men een passende naam: met ‘epsilon’ bedoelen wiskundigen een ‘kleinigheid’, in deze context doelend op de kleine omissie in Freys bewijs.

Cappuccino

Het duurde echter geen dagen, weken of maanden voor het epsilonvermoeden werd bewezen, maar bijna twee jaar. Het vermeende niemendalletje bleek een ware krachttoer. Uiteindelijk was het Ribet met het juiste inzicht. In de zomer van 1986 dronk hij met zijn collega Barry Mazur een kop cappuccino op het terras van Caffe Strada in Berkeley. ‘Ik probeer mijn resultaten te generaliseren om zo het epsilonvermoeden te bewijzen. Maar het lukt me maar niet om dat wat ik nodig heb voor die generalisatie te pakken te krijgen,’ zei Ribet. Mazur keek naar Ribets aantekeningen en stelde vast: ‘Maar Ken, zíé je dat dan niet? Het ís je al gelukt! Je hoeft hier alleen nog maar een extra Γ0(N) tussen te foezelen, en je bent er!’

Inderdaad was het Ribet gelukt een stelling te bewijzen die definitief bevestigde dat de waarheid van het modulariteitsvermoeden tot direct gevolg heeft dat de laatste stelling van Fermat waar is. Dit bewijs was het startpunt voor Andrew Wiles’ zevenjarige beproeving om het modulariteitsvermoeden, en daarmee ‘Fermat’, te bewijzen.

Had Ribet destijds verwacht dat iemand zich met ‘Taniyama-Shimura’ zou bezighouden, nu het epsilonvermoeden bewezen was? Volstrekt niet. De link tussen ‘Taniyama-Shimura’ en ‘Fermat’ was dankzij hem een voldongen feit, maar de bestaande wiskunde was niet toereikend om ‘Taniyama-Shimura’ te bewijzen. Wiles’ aankondiging dat het hem gelukt was, kwam voor iedereen – Ribet incluis – als een complete verrassing.

Altijd op de hoogte blijven van het laatste wetenschapsnieuws? Meld je nu aan voor de New Scientist nieuwsbrief.

Lees verder:

Plaats een reactie